Ο Αλέξανδρος Παρράς γεννήθηκε στις 12 Μαΐου 1998 και έκανε τα πρώτα ποδοσφαιρικά βήματά του από τον ΑΟ Άρτας. Ακολούθησαν τα τμήματα υποδομής του ΑΟΚ Τζουμέρκων, ενώ σε ηλικία 16 ετών εντάχθηκε στην Ακαδημία του Παναιτωλικού.

Με τον σύλλογο του Αγρινίου υπέγραψε επαγγελματικό συμβόλαιο το καλοκαίρι του 2017, αγωνιζόμενος συνολικά 12 φορές σε Πρωτάθλημα και Κύπελλο Ελλάδας. Το 2021 μετακόμισε στην ΑΕΚ, με τη Β’ ομάδα της οποίας είχε 47 συμμετοχές στη Super League 2 την τελευταία διετία.

Ο Αλέξανδρος Παρράς, ο οποίος αγωνίζεται ως αριστερός ακραίος αμυντικός, έχει υπάρξει επίσης διεθνής με την Κ21 της Ελλάδας.